布林函數的基本公理

布林函數的基本公理

在說明之前要先說最基本的觀念.....

數位邏輯最基本的概念講的是電路的連接...

串聯、並聯知道吧~假如說有兩個開關，串聯的話一定要兩個接通才能形成通路；而並聯只要有一個接通就能成為通路。

而在數位邏輯上，1通常表示為開，0表示為關

而在數位邏輯上最基本的邏輯閘~有著所謂的及閘(AND gate)跟或閘(OR gate)，分別表示串連跟並聯。

所以在及閘(AND gate)上有著下面的關係式(等於串聯)

0‧0=0(2個都關→斷路)

0‧1=0(1關1開→斷路)

1‧0=0(1開1關→斷路)

1‧1=1(2個都開→通路)

在或閘(OR gate)上有著下面的關係式(等於並聯)

0+0=0(2個都關→斷路)

0+1=1(1關1開→通路)

1+0=1(1開1關→通路)

1=1=1(2個都開→通路)

藉由串、並聯的關係式，又可以衍生如下的基本定理

X+0=X(在並聯電路裡，X為1or0跟斷路並聯，若X為1(通路)結果就會是通路；若X為0(斷路)結果就是斷路，所以X是什麼，結果就是什麼)

如果是X+1勒??當然結果必然是1(在並聯裡，只要有一個通路，整個電路一定是通路X+1=1，所以有著一種記法，1加任何數都是1)

X‧1=X(在串聯電路裡，X為1or0跟斷路串聯，若X為1(通路)結果就會是通路；若X為0(斷路)結果就是斷路，所以X是什麼，結果就是什麼)

如果是X‧0勒??當然結果必然是0(在串聯裡，只要有一個斷路，整個電路一定是斷路X‧0=0)

還有X'，上面的一撇是代表著相反的意思，就是如果是1，撇一撇就會變成0，如果是0，撇一撇就會變成1。

有著這些觀念，再給你一些進階的觀念：

X+X=X(自己加自己還是自己)；X‧X=X(自己乘自己還是自己)；(X')'=X；X+X'=1；X‧X'=0(這些就不再多做解釋了，自己在慢慢推敲吧，上面有括號的部份是記的口訣)

說完這些概念，開始回答你的問題，

X+X‧Y=X，這要牽扯到數學的分配律跟數位邏輯的邏輯概念，先把【‧】當成數學的乘來看：

X+X‧Y=X‧1+X‧Y=X‧(1+Y)=X

能不能了解其中過程？不了解的話這題我先講解一下，其餘公式的話，我就只打出證明過程，文字敘述，自己在慢慢推敲吧，全部的基本概念的都打出來了。

X‧1=X，故X+X‧Y可以變成X‧1+X‧Y，再把共通向提出來變成X‧(1+Y)，而【1加任何數都是1】則式子就變成X‧1，而X‧1=X，所以X+X‧Y=X就是這樣出來的。

x+y*z會等於(x+y)*(y+z)嗎？我們先把式子右邊都乘開：

X‧Y+X‧Z+Y‧Y+Y‧Z=X‧Y+X‧Z+Y+Y‧Z

=X‧Z+Y‧(X+1+Z)=X‧Z+Y~~~~~結果是不等於的。

(接下來的運算我會把‧省略，麻煩又看的眼花撩亂= ='')

1. x+x*y=x【證明：X+XY=X(1+Y)=X】

2. x*(x+y)=x【證明：X‧(X+Y)=XX+XY=X+XY=X(1+Y)=X】

3. x+x'*y=x+y【證明：X+X'‧Y=(X+X')(X+Y)=1‧(X+Y)=X+Y】

再這裡補充一個新觀念，是數位邏輯裡獨有的“加法”分配律，數學裡的分配律是指乘法分配律：X(Y+Z)=XY+XZ，數位邏輯則又加上了加法分配律：X+YZ=(X+Y)(X+Z)，這議題就是運用了加法分配律觀念。

4. x*(x'+y)=xy【證明：X‧(X'+Y)=XX'+XY=0+XY=XY】

一致性：(我們課堂上講的是共通項理論，也就是式子裡如果有X跟X'，中間夾的數如果剛好等於X跟X'旁邊向的乘積的話，中間項是可以直接被約掉的，就好比下面兩個例子，是不是中間項的數都不見了！)

1.xy+yz+x'z=xy+x'z

【證明：XY+YZ+X'Z=XY+(X+X')YZ+X'Z=XY+XYZ+X'YZ+X'Z=XY(1+Z)+X'Z(1+Y)=XY+X'Z】

2.(x+y)(y+z)(x'+z)=(x+y)(x'+z)

這一題要用比較特別的方法，就是把兩邊都乘開後，再比較的手法：

【左證明：(X+Y)(Y+Z)(X'+Z)=(XY+XZ+Y+YZ)(X'+Z)=XYX'+XZX'+x'Y+x'YZ+XYZ+XZZ+YZ+YZZ

=X'Y+XYZ+XYZ+XZ+YZ=X'Y+XZ+YZ(X'+X+1)=

X'Y+XZ+YZ=X'Y+XZ】

【右證明：(X+Y)(X'+Z)=XX'+XZ+X'Y+YZ=X'Y+XZ+YZ=X'Y+XZ】

其結果是相等的~~大致上就是這樣。

2009-02-18 23:06:43 補充：

看你這樣問，就知道你是剛接觸，而且還蠻想學的，但就我學習的經驗來看的話.....即使給你網站讓你去看，雖然看的懂，卻不知所以然....這門學問還是要人教的阿。

2009-02-18 23:21:55 補充：

(x+y)(y+z)(x'+z)=(x+y)(x'+z)

換個方式

(X+Y)(Y+Z)(X'+Z)=(XY+XZ+Y+YZ)(X'+Z)=XYX'+XZX'+x'Y+x'YZ+XYZ+XZZ+YZ+YZZ

=X'Y+XYZ+XYZ+XZ+YZ=X'Y+XZ+YZ(X'+X+1)

=X'Y+XZ+YZ=X'Y+XZ+YZ+XX'=X(X'+Z)+Y(X'+Z)

=(X+Y)(X'+Z)

ref:https://tw.answers.yahoo.com/question/index?qid=20090217000010KK09528